Question

（2013•樊城區模擬）如圖，已知△ABC內接于⊙O，弦AD交BC于E，過點D的切線MN交直線AB于M，交直線AC于N．
（1）求證：AE•DE=BE•CE；
（2）連接DB，CD，若MN∥BC，試探究BD與CD的數量關系；
（3）在（2）的條件下，已知AB=6，AN=15，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）連接CD，利用已知條件證明△ABE∽△CDE，由相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可證明：AE•DE=BE•CE；
（2）BD和CD的數量關系是BD=CD，根據切線的性質和平行線的性質證明，

BD

=

CD

即可；
（3）首先證明△ABD∽△ADN，所以可得：

AB

AD

=

AD

AN

，即AD²=AB•AN問題得解．

解答：（1）證明：∵連接CD，在⊙O中，
∵∠ABC=∠ADC，∠1=∠3，
∴△ABE∽△CDE，
∴

AE

CE

=

BE

DE

∵AE•DE=BE•CE；           
解：（2）BD=CD，
理由：連接OD、BD，
∵MN切⊙O于點D，
∴OD⊥MN，
∵MN∥BC，
∴OD⊥BC，
∴在⊙O中，

BD

=

CD

，
∴BD=CD；                          
（3）∵在⊙O中，

BD

=

CD

，
∴∠1=∠2，
在⊙O中，
∵∠ADB=∠4，
∵MN∥BC，
∴∠C=∠4，
∴∠ADB=∠C，
∴△ABD∽△ADN，
∴

AB

AD

=

AD

AN

，
∴AD²=AB•AN=6×15=90，
∴AD=3

10

．

點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．乘積的形式通常可以轉化為比例的形式，通過相似三角形的性質得出．