Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點．直線y=kx+b與拋物線y=mx2﹣x+n同時經過A（0，3）、B（4，0）．
（1）求m，n的值．
（2）點M是二次函數圖象上一點，（點M在AB下方），過M作MN⊥x軸，與AB交于點N，與x軸交于點Q．求MN的最大值．
（3）在（2）的條件下，是否存在點N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N點坐標，不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵拋物線y=mx2﹣x+n經過A（0，3）、B（4，0），
∴，
解得．
∴二次函數的表達式為y=x2﹣x+3．
（2）∵直線y=kx+b經過A（0，3）、B（4，0），則，
解得．
∴經過AB兩點的一次函數的解析式為y=﹣x+3．
MN=﹣x+3﹣（x2﹣x+3）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∵0≤x≤4，
∴當x=2時，MN取得最大值為4．
（3）存在．
①當ON⊥AB時，（如圖1）
可證：∠NOQ=∠OAB，∠OQN=∠AOB=90°，
∴△AOB∽△OQN．
∴
∴OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∵ONAB=OAOB，
∴ON=，
∴NQ=，OQ=．
∴N（，）；
②當N為AB中點時，（如圖2）
∠NOQ=∠B，∠AOB=∠NQO=90°，
∴△AOB∽∽△NQO．此時N（2，）．
∴滿足條件的N（，）或N（2，）．

【解析】（1）根據拋物線y=mx2﹣x+n經過A（0，3）、B（4，0），將兩點坐標代入拋物線即可得出m，n的值；
（2）根據待定系數法可求經過AB兩點的一次函數的解析式，得到MN=﹣x+3﹣（x2﹣x+3）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，從而求解；
（3）分兩種情況討論，①當ON⊥AB 時，②當N為AB中點時，依次求出點N的坐標即可．