Question

【題目】已知，如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（﹣2，0），點B坐標為（0，2），點E為線段AB上的動點（點E不與點A，B重合），以E為頂點作∠OET=45°，射線ET交線段0B于點F，C為y軸正半軸上一點，且OC=AB，拋物線y=﹣ x2+mx+n的圖象經過A，C兩點．

（1）求此拋物線的函數表達式；
（2）求證：∠BEF=∠AOE；
（3）當△EOF為等腰三角形時，求此時點E的坐標；
（4）在（3）的條件下，當直線EF交x軸于點D，P為（1）中拋物線上一動點，直線PE交x軸于點G，在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（2 +1）倍？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①，

∵A（﹣2，0）B（0，2）

∴OA=OB=2，

∴AB2=OA2+OB2=22+22=8

∴AB=2 ，

∵OC=AB

∴OC=2 ，即C（0，2 ）

又∵拋物線y=﹣ x2+mx+n的圖象經過A、C兩點

則可得 ，

解得 ．

∴拋物線的表達式為y=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°

又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，

∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，

∴∠BEF=∠AOE．

（3）

解：當△EOF為等腰三角形時，分三種情況討論

①當OE=OF時，∠OFE=∠OEF=45°

在△EOF中，∠EOF=180°﹣∠OEF﹣∠OFE=180°﹣45°﹣45°=90°

又∵∠AOB=90°

則此時點E與點A重合，不符合題意，此種情況不成立．

②如圖2，

當FE=FO時，

∠EOF=∠OEF=45°

在△EOF中，

∠EFO=180°﹣∠OEF﹣∠EOF=180°﹣45°﹣45°=90°

∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°

∴EF∥AO，

∴∠BEF=∠BAO=45°

又∵由（2）可知，∠ABO=45°

∴∠BEF=∠ABO，

∴BF=EF，

EF=BF= OB= ×2=1

∴E（﹣1，1）

③如圖③，

當EO=EF時，過點E作EH⊥y軸于點H

在△AOE和△BEF中，

∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF

∴△AOE≌△BEF，

∴BE=AO=2

∵EH⊥OB，

∴∠EHB=90°，

∴∠AOB=∠EHB

∴EH∥AO，

∴∠BEH=∠BAO=45°

在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°

∴EH=BH=BEcos45°=2× =

∴OH=OB﹣BH=2﹣ ∴E（﹣ ，2﹣ ）

綜上所述，當△EOF為等腰三角形時，所求E點坐標為E（﹣1，1）或E（﹣ ，2﹣ ）

（4）

解：假設存在這樣的點P．

當直線EF與x軸有交點時，由（3）知，此時E（﹣ ，2﹣ ）．

如圖④所示，

過點E作EH⊥y軸于點H，則OH=FH=2﹣ ．

由OE=EF，易知點E為Rt△DOF斜邊上的中點，即DE=EF，

過點F作FN∥x軸，交PG于點N．

易證△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG，

依題意，可得

S△EPF=（2 +1）S△EDG=（2 +1）S△EFN，

∴PE：NE=（2 +1）：1．

過點P作PM⊥x軸于點M，分別交FN、EH于點S、T，則ST=TM=2﹣ ．

∵FN∥EH，

∴PT：ST=PE：NE=2 +1，

∴PT=（2 +1）ST=（2 +1）（2﹣ ）=3 ﹣2；

∴PM=PT+TM=2 ，即點P的縱坐標為2 ，

∴﹣ x2﹣ x+2 =2 ，

解得x1=0，x2=﹣1，

∴P點坐標為（0，2 ）或（﹣1，2 ）．

綜上所述，在直線EF上方的拋物線上存在點P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（2 +1）倍；

點P的坐標為（0，2 ）或（﹣1，2 ）

【解析】（1）首先求出點C的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）利用三角形外角性質，易證∠BEF=∠AOE；（3）當△EOF為等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論，注意不要漏解；（4）本問關鍵是利用已知條件求得點P的縱坐標，要點是將△EPF與△EDG的面積之比轉化為線段之比．如圖④所示，首先證明點E為DF的中點，然后作x軸的平行線FN，則△EDG≌△EFN，從而將△EPF與△EDG的面積之比轉化為PE：NE；過點P作x軸垂線，可依次求出線段PT、PM的長度，從而求得點P的縱坐標；最后解一元二次方程，確定點P的坐標．