Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點F為弦AC的中點，連接OF并延長交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點E．

（1）求證：AC∥DE；
（2）若OA=AE=4，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OD過圓心，F為AC中點，

∴OD⊥AC，

∵ED切⊙O于D，

∴OD⊥ED，

∴AC∥DE

（2）解：∵OD=OA=4，OE=OA+AE=8，

∴OD= OE，

∵在Rt△ODE中，OD= OE，

∴∠E=30°，

∵AC∥DE，

∴∠CAB=∠E=30°，

∴在Rt△OAF中，OF= AO=2，AF= OF=2 ，

∵F為AC中點，

∴AC=2AF=4

【解析】（1）由點F為弦AC的中點，ED切⊙O于D，可得OD⊥AC，OD⊥DE，繼而證得結論；（2）由OA=AE=4，易得∠E=30°，又由AC∥DE，利用三角函數的知識即可求得OF，AF的長，繼而求得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．