Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．

（1）求證：OE=OF；

（2）求∠ACB的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）60°

【解析】（1）根據矩形的對邊平行可得AB∥CD，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角邊”證明△AOE和△COF全等，再根據全等三角形的即可得證；

（2）連接OB，根據等腰三角形三線合一的性質可得BO⊥EF，再根據矩形的性質可得OA=OB，根據等邊對等角的性質可得∠BAC=∠ABO，再根據三角形的內角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，繼而求得答案．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠OCF=∠OAE，

在△OCF和△OAE中，

∴△COF≌△AOE（AAS），

∴OE=OF；

（2）如圖，連接OB，

∵BE=BF，OE=OF，

∴BO⊥EF，

∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，

由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可知：OA=OB=OC，

∴∠BAC=∠ABO，

又∵∠BEF=2∠BAC，

即2∠BAC+∠BAC=90°，

解得∠BAC=∠ABO=30°，

∴∠ACB=90°-∠BAC=60°．