Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中， ．動點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速度向終點A運動；同時動點Q從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向終點C運動．作PM⊥BC于點M，連結PQ．以PM、PQ為鄰邊作□PMNQ，設□PMNQ與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點Q的運動時間為t秒．

（1）_____________（用含t的代數式表示）．

（2）當四邊形PMNQ是菱形時，求t的值．

（3）求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1；（3）

【解析】

（1）根據30度的直角三角形的性質可得PM的長；

（2）如圖1，作輔助線，構建直角三角形，根據勾股定理和30°的直角三角形的性質得：AG和PG的長，根據AB=4，列方程可得t的值；

（3）分三種情況：①0≤t＜時，如圖3，延長QN交BC于G，□PMNQ與△ABC重疊部分圖形是□PMNQ；

②當≤t＜2時，如圖4，□PMNQ與△ABC重疊部分圖形是梯形PMGQ；

③當2≤t≤4時，如圖5，P與A重合，□PMNQ與△ABC重疊部分圖形是梯形PMGQ，根據面積公式可得結論．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=60°，

∵PM⊥BC，

∴∠PMB=90°，

∵PB=2t，

∴PM=；

故答案為：；

（2）如圖1，四邊形PMNQ是菱形，

過Q作QG⊥AB于G，

由題意得：AQ=t，PB=2t，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=60°，

∴∠AQG=30°，

∴AG=，GQ=，

Rt△BPM中，∠BMP=90°，

∴∠BPM=30°，

∴PM=，

∵四邊形PMNQ是菱形，

∴PQ=PM=，

∴PG=，

∴AB=AG+PG+PB，即2t++=4，

∴t=1；

（3）如圖2，當N在BC上時，四邊形PMNQ是矩形，

∴PQ∥BC，

∴∠APQ=∠B=60°，∠AQP=∠C=60°，

∴△APQ是等邊三角形，

∴AP=AQ=t，

∴AB+PB=4，即t+2t=4，

∴t=；

分三種情況：

①0≤t＜時，如圖，延長QN交BC于G，PMNQ與△ABC重疊部分圖形是□PMNQ，

∵PM∥QN，PM⊥BC，

∴QG⊥BC，

Rt△CQG中，∠CQG=30°，CQ=4-t，

∴GQ=（4-t），CG=CQ=（4-t），

∴MG=，

∴S=SPMNQ=PMMG=；

②當≤t＜2時，如圖，PMNQ與△ABC重疊部分圖形是梯形PMGQ，

∴S=MG(QG+PM)=；

③當2≤t≤4時，如圖，P與A重合，PMNQ與△ABC重疊部分圖形是梯形PMGQ，

BM=2，PM=，CG=，

∴MG==，

∴S=MG(QG+PM)=；

∴.