Question

【題目】如圖，在△ABC 中，AB=AC，AE 是∠BAC 的平分線，∠ABC 的平分線 BM 交 AE 于點 M，點 O在 AB 上，以點O 為圓心，OB 的長為半徑的圓經過點 M，交 BC 于點G，交 AB 于點 F．

（1）求證：AE 為⊙O 的切線．

（2）當 BC=8，AC=12 時，求⊙O 的半徑．

（3）在（2）的條件下，求線段 BG 的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）3（3）2

【解析】分析：（1）連接OM.利用角平分線的性質和平行線的性質得到AE⊥OM，后即可證得AE是的切線；
（2）設的半徑為r，根據OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行線的性質得到

，即可解得 ,的半徑為3；

（3）過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH，根據得到四邊形OMEH是矩形，從而得到HE=OM=3和BH=1，證得結論BG=2BH=2.

詳解：(1)證明：連接OM.

∵AC=AB，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC,

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM=∠CBM，

∴∠OMB=∠CBM，

∴OM∥BC

又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，

∴AE是的切線；

(2)設的半徑為r，

∵OM∥BE，

∴△OMA∽△BEA，

∴即，

解得

∴的半徑為3；

(3)過點O作OH⊥BG于點H，則BG=2BH，

∵

∴四邊形OMEH是矩形，

∴HE=OM=3，

∴BH=1，

∴BG=2BH=2.