Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點B坐標（﹣3，0），點C在y軸正半軸上，且sin∠CBO=，點P從原點O出發，以每秒一個單位長度的速度沿x軸正方向移動，移動時間為t（0≤t≤5）秒，過點P作平行于y軸的直線l，直線l掃過四邊形OCDA的面積為S．

（1）求點D坐標．

（2）求S關于t的函數關系式．

（3）在直線l移動過程中，l上是否存在一點Q，使以B、C、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（5，4）；（2）見解析；（3）點Q坐標為（，）或（4，1）或（1，﹣3）．

【解析】

（1）在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO=，設CO=4k，BC=5k，根據BC2=CO2+OB2，可得25k2=16k2+9，推出k=1或﹣1（舍棄），求出菱形的邊長即可解決問題；

（2）①如圖1中，當0≤t≤2時，直線l掃過的圖象是四邊形CCQP，S=4t；②如圖2中，當2＜t≤5時，直線l掃過的圖形是五邊形OCQTA．分別求解即可解決問題；

（3）畫出符合條件的圖形，分三種情形分別求解即可解決問題；

（1）在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO=，設CO=4k，BC=5k，

∵BC2=CO2+OB2，

∴25k2=16k2+9，

∴k=1或﹣1（舍去），

BC=5，OC=4，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴CD=BC=5，

∴D（5，4）；

（2）①如圖1中，當0≤t≤2時，直線l掃過的圖象是四邊形CCQP，S=4t．

②如圖2中，當2＜t≤5時，直線l掃過的圖形是五邊形OCQTA．

S=S梯形OCDA﹣S△DQT=×（2+5）×4﹣×（5﹣t）×（5﹣t）=﹣t2+t﹣，

∴；

（3）如圖3中，①當QB=QC，∠BQC=90°，Q（，）；

②當BC=CQ′，∠BCQ′=90°時，Q′（4，1）；

③當BC=BQ″，∠CBQ″=90°時，Q″（1，﹣3）；

綜上所述，滿足條件的點Q坐標為（，）或（4，1）或（1，﹣3）．