Question

【題目】如圖所示，已知△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，M、N分別從點A、點B同時出發，沿三角形的邊運動，已知點M的速度是1厘米/秒的速度，點N的速度是2厘米/秒，當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．

（1）M、N同時運動幾秒后，M、N兩點重合？

（2）M、N同時運動幾秒后，可得等邊三角形△AMN？

（3）M、N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰△AMN，如果存在，請求出此時M、N運動的時間？

Answer 1

【答案】(1)10秒;(2)秒;(3)秒.

【解析】

（1）首先設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，表示出M，N的運動路程，N的運動路程比M的運動路程多10cm，列出方程求解即可；

（2）根據題意設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；

（3）首先假設△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設出運動時間，表示出CM，NB的長，列出方程，可解出未知數的

（1）設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，

x+10=2x，解得x=10；

（2）設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，

AM=t，AN=AB–BN=10–2t，

∵三角形△AMN是等邊三角形，

∴t=10–2t，解得t=，

∴點M、N運動秒后，可得到等邊三角形△AMN．

（3）當點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，

由（1）知10秒時M、N兩點重合，恰好在點C處，

如圖②，假設△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，

∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C=∠B，

在△ACM和△ABN中，

∵，

∴△ACM≌△ABN（AAS），

∴CM=BN，

設當點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間為y秒時，△AMN是等腰三角形，

∴CM=y–10，NB=30–2y，CM=NB，

y–10=30–2y，

解得：y=．故假設成立．

∴當點M、N在BC邊上運動時，能得到以MN為底邊的等腰△AMN，此時M、N運動的時間為秒．