Question

【題目】已知，拋物線y=ax+bx+4與x軸交于點A（-3，0）和B（2，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，若點D為CB的中點，將線段DB繞點D旋轉，點B的對應點為點G，當點G恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點G的坐標；

（3）如圖2，若點D為直線BC或直線AC上的一點，E為x軸上一動點，拋物線y=ax+bx+4對稱軸上是否存在點F，使以B，D，F，E為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；

（2）點G的坐標 或

（3）點F的坐標為， ，，

【解析】

試題（1）將A（-3，0）和B（2，0）兩點代入解析式，求出a、b的值，即可求得拋物線的解析式；(2)）設點G的坐標為，過點D作DH⊥對稱軸于點H，因點D是BC的中點，可得點D的坐標為，，由折疊的性質可得DH=DB,根據勾股定理可得 ，解得y的值,即可得點G的坐標；(3)分當BE為對角線和BE為菱形的邊時兩種情況討論求解即可.

試題解析：

（1）由題意得 ,

解得,

∴

（2）設點G的坐標為

過點D作DH⊥對稱軸于點H

∵點D是BC的中點

∴點D的坐標為，

由折疊得，DH=DB

∴

∴

∴點G的坐標為或

（3）①當BE為對角線時，因為菱形的對角線互相垂直平分，所以此時D即為對稱軸與AC的交點，F為點D關于x軸的對稱點

設

∵C，A

∴

∴

∴

∴當時，

∴D

∴F

②當BE為菱形的邊時，有DF∥BE

I)當點D在直線BC上時

易得

設D，則點F

∵四邊形BDFE是菱形

∴FD=DB

根據勾股定理得，

解得：，

∴F或

II）當點D在直線AC上時

設D，則點F

∵四邊形BFDE是菱形

∴FD=FB

根據勾股定理得，

解得：(舍去)，

∴F

綜上所述，點F的坐標分別為：， ，

，