Question

【題目】平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A（3，4），點B（6，0）．

（1）如圖①，求AB的長；

（2）如圖2，把圖①中的△ABO繞點B順時針旋轉，使O的對應點M恰好落在OA的延長線上，N是點A旋轉后的對應點；

①求證：四邊形AOBN是平行四邊形；

②求點N的坐標．

（3）點C是OB的中點，點D為線段OA上的動點，在△ABO繞點B順時針旋轉過程中，點D的對應點是P，求線段CP長的取值范圍．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）AB的長是5；（2）①見解析；②點N坐標為（9，4）；（3）線段CP長的取值范圍為≤CP≤9．

【解析】

（1）根據平面直角坐標系中任意兩點的距離公式計算即可；

（2）①根據平面直角坐標系中任意兩點的距離公式計算出OA，從而得出OA=AB，然后根據等邊對等角可得∠AOB=∠ABO，根據旋轉的性質可得BM=BO，BN=BA，∠MBN=∠ABO=∠AOB，然后證出AO∥BN且AO=BN即可證出結論；

②證出AN∥x軸，再結合平行四邊形的邊長和點A的坐標即可得出結論；

（3）連接BP，根據題意，先根據三角形的三邊關系可得當點P在線段OB上時，CP=BP-BC最短；當點P在線段OB延長線上時，CP=BP+BC最長，然后求出BP的最小值和最大值即可求出CP的最值，從而得出結論．

（1）∵點A（3，4），點B（6，0）

∴AB==5

∴AB的長是5．

（2）①證明：∵OA==5

∴OA=AB

∴∠AOB=∠ABO

∵△ABO繞點B順時針旋轉得△NBM

∴BM=BO，BN=BA，∠MBN=∠ABO=∠AOB

∴∠OMB=∠AOB，OA=BN

∴∠OMB=∠MBN

∴AO∥BN且AO=BN

∴四邊形AOBN是平行四邊形

②如圖1，連接AN

∵四邊形AOBN是平行四邊形

∴AN∥OB即AN∥x軸，AN=OB=6

∴xN=xA+6=3+6=9，yN=yA=4

∴點N坐標為（9，4）

（3）連接BP

∵點D為線段OA上的動點，OA的對應邊為MN

∴點P為線段MN上的動點

∴點P的運動軌跡是以B為圓心，BP長為半徑的圓

∵C在OB上，且CB=OB=3

∴當點P在線段OB上時，CP=BP-BC最短；當點P在線段OB延長線上時，CP=BP+BC最長

如圖2，當BP⊥MN時，BP最短

∵S△NBM=S△ABO，MN=OA=5

∴MNBP=OByA

∴BP=

∴CP最小值=-3=

當點P與M重合時，BP最大，BP=BM=OB=6

∴CP最大值=6+3=9

∴線段CP長的取值范圍為≤CP≤9．