Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，A是切點，BP與⊙O交于點C．

（1）若AB＝4，∠ABP＝60°，求PB的長；

（2）若CD是⊙O的切線．求證：D是AP的中點．

Answer 1

【答案】（1）PB＝8；（2）詳見解析.

【解析】

（1）如圖1，利用切線的性質得∠BAP=90°，然后根據含30度的直角三角形三邊的關系求PB的長；
（2）連接OC、AC，如圖2，根據切線的性質得出∠2+∠4=90°，∠1+∠3=90°，利用等腰三角形的性質可證明
∠3=∠4，那么∠1=∠2，CD=AD．根據圓周角定理得∠ACB=90°，再證明∠5=∠P，那么CD=DP，即D是AP的中點．

（1）解：如圖1．

∵PA是⊙O的切線，AB是直徑，

∴PA⊥AB，

∴∠BAP＝90°，

∴∠P+∠ABP＝90°，

∵∠ABP＝60°，

∴∠P＝30°，

又∵AB＝4，

∴PB＝2AB＝2×4＝8．

（2）證明：連接OC、AC，如圖2，

∵PA是⊙O的切線，CD是⊙O的切線，

∴∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠3＝∠4，

∴∠1＝∠2，

∴CD＝AD．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠1+∠5＝90°，∠2+∠P＝90°，

∵∠1＝∠2，

∴∠5＝∠P，

∴CD＝DP，

∴CD＝AD＝DP，

∴D是AP的中點．