Question

【題目】閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣10n+25＝0，求m，n的值．

解：∵m2﹣2mn+2n2﹣10n+25＝0，

∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣10n+25）＝0．

∴（m﹣n）2+（n﹣5）2＝0，

∴m﹣n＝0，n﹣5＝0．

∴n＝5，m＝5．

根據你的觀察，探究下面的問題：

（1）已知：x2+2xy+2y2+4y+4＝0，求xy的值；

（2）已知：△ABC的三邊長a，b，c都是正整數，且滿足：a2+b2﹣16a﹣12b+100＝0，求△ABC的周長的最大值；

（3）已知：△ABC的三邊長是a，b，c，且滿足：a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，試判斷△ABC是什么形狀的三角形并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△ABC周長的最大值為27；（3）△ABC是等邊三角形．

【解析】

（1）利用完全平方公式以及非負數的性質求解即可．

（2）利用完全平方公式以及非負數的性質求解即可．

（3）利用完全平方公式以及非負數的性質求解即可．

解：（1）∵x2+2xy+2y2+4y+4＝0，

∴（x2+2xy+y2）+（y2+4y+4）＝0

∴（x+y）2+（y+2）2＝0，

∴x+y＝0，y+2＝0，

∴x＝2，y＝﹣2，

∴．

（2）∵a2+b2﹣16a﹣12b+100＝0

∴（a2﹣16a+64）+（b2﹣12b+36）＝0，

∴（a﹣8）2+（b﹣6）2＝0，

∴a＝8，b＝6

由三角形的三邊關系可知2＜c＜14且c為正整數

∴c的最大值是13．

∴△ABC周長的最大值為27．

（3）結論：△ABC是等邊三角形．

理由：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，

∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0，

∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，

∴a＝b，b＝c，

即a＝b＝c，

∴△ABC是等邊三角形．