Question

如圖，在平面直角坐標系中，半徑為1的圓的圓心在坐標原點，且與兩坐標軸分別交于四點．拋物線與軸交于點，與直線交于點，且分別與圓相切于點和點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸交軸于點，連結，并延長交圓于，求的長．
（3）過點作圓的切線交的延長線于點，判斷點是否在拋物線上，說明理由．

Answer 1

（1）（2）（3）點在拋物線上，理由見解析

解：（1）圓心在坐標原點，圓的半徑為1，
點的坐標分別為
拋物線與直線交于點，且分別與圓相切于點和點，
．
點在拋物線上，將的坐標代入
，得：  解之，得：
拋物線的解析式為：．
（2）
拋物線的對稱軸為，
．
連結，

，，
又，
，
．
（3）點在拋物線上．
設過點的直線為：，
將點的坐標代入，得：，
直線為：．
過點作圓的切線與軸平行，點的縱坐標為，
將代入，得：．
點的坐標為，
當時，，
所以，點在拋物線上．
（1）根據⊙O半徑為1，得出D點坐標，再利用CO=1，AO=1，點M、N在直線y=x上，即可求出答案；
（2）先利用配方法求出頂點坐標，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求得結果；
（3）先求出直線CD的解析式，即可得到點P的坐標，從而可以判斷點是否在拋物線上．