Question

我們知道三角形三條中線的交點叫做三角形的重心．經過證明我們可得三角形重心具備下面的性質： 重心到頂點的距離與重心到該頂點對邊中點的距離之比為2﹕1．請你用此性質解決下面的問題.
已知：如圖，點為等腰直角三角形的重心，，直線過點,過 三點分別作直線的垂線，垂足分別為點.              
<1>當直線與平行時（圖1），請你猜想線段和三者之間的數量關系并證明；
<2>當直線繞點旋轉到與不平行時，分別探究在圖2、圖3這兩種情況下，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段三者之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的結論，不需證明．

Answer 1

（1）AD=BE+CF…………………………………1’
證明：延長AD交BC于H
（延長后，由平行的垂直，再由平行線間的距離相等得關系式）……………………2’
（2）AD=BE+CF
證明：連接AO并延長交BC于H………………………………3’
△HOK∽△AOD……………………………………………………4’
（證明相似，利用梯形中位線的定理證明關系式）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6’
（3）AD=BE-CF………………………………………………………7

略