Question

【題目】如圖①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=120°．

（1）求證：△ABD≌△ACE；

（2）把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖②的位置，連接CD，點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點，連接MN、PN、PM，判斷△PMN的形狀，并說明理由；

（3）在（2）中，把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD=4，AB=6，請分別求出△PMN周長的最小值與最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△PMN是等邊三角形．理由見解析；（3）△PMN周長的最小值為3，最大值為15．

【解析】

（1）由∠BAC=∠DAE=120°，可得∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS即可判定△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等邊三角形，利用三角形的中位線定理可得PM=CE，PM∥CE，PN=BD，PN∥BD，同（1）的方法可得BD=CE，即可得PM=PN，所以△PMN是等腰三角形；再由PM∥CE，PN∥BD，根據平行線的性質可得∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，因為∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC， 所以∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，再由∠BAC=120°，可得∠ACB+∠ABC=60°，即可得∠MPN=60°，所以△PMN是等邊三角形；（3）由（2）知，△PMN是等邊三角形，PM=PN=BD，所以當PM最大時，△PMN周長最大，當點D在AB上時，BD最小，PM最小，求得此時BD的長，即可得△PMN周長的最小值；當點D在BA延長線上時，BD最大，PM的值最大，此時求得△PMN周長的最大值即可.

（1）因為∠BAC=∠DAE=120°，

所以∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，

所以△ABD≌△ADE；

（2）△PMN是等邊三角形。

理由：∵點P，M分別是CD，DE的中點，

∴PM=CE，PM∥CE，

∵點N，M分別是BC，DE的中點，

∴PN=BD，PN∥BD，

同（1）的方法可得BD=CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形，

∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，

∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，

∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC

=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC=120°，∴∠ACB+∠ABC=60°，

∴∠MPN=60°，

∴△PMN是等邊三角形。

（3）由（2）知，△PMN是等邊三角形，PM=PN=BD，

∴PM最大時，△PMN周長最大，

∴點D在AB上時，BD最小，PM最小，

∴BD=AB-AD=2，△PMN周長的最小值為3；

點D在BA延長線上時，BD最大，PM最大，

∴BD=AB+AD=10，△PMN周長的最大值為15。

故答案為：△PMN周長的最小值為3，最大值為15