Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+1交y軸于點A，交x軸正半軸于點B（4，0），與過A點的直線相交于另一點D（3， ），過點D作DC⊥x軸，垂足為C．

（1）求拋物線的表達式；
（2）點P在線段OC上（不與點O、C重合），過P作PN⊥x軸，交直線AD于M，交拋物線于點N，連接CM，求△PCM面積的最大值；
（3）若P是x軸正半軸上的一動點，設OP的長為t，是否存在t，使以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點B（4，0），點D（3， ），代入y=ax2+bx+1中得， ，

解得： ，

∴拋物線的表達式為y=﹣ x2+ x+1

（2）

解：設直線AD的解析式為y=kx+b，

∵A（0，1），D（3， ），

∴ ，

∴ ，

∴直線AD的解析式為y= x+1，

設P（t，0），

∴M（t， t+1），

∴PM= t+1，

∵CD⊥x軸，

∴PC=3﹣t，

∴S△PCM= PCPM= （3﹣t）（ t+1），

∴S△PCM=﹣ t2+ t+ =﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴△PCM面積的最大值是

（3）

解：∵OP=t，

∴點M，N的橫坐標為t，

設M（t， t+1），N（t，﹣ t2+ t+1），

∴MN=﹣ t2+ t+1﹣ t﹣1=﹣ t2+ t，CD= ，

如果以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴MN=CD，即﹣ t2+ t= ，

∵△=﹣39，

∴方程﹣ t2+ t= 無實數根，

∴不存在t，使以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】（1）把B（4，0），點D（3， ）代入y=ax2+bx+1即可得出拋物線的解析式；（2）先用含t的代數式表示P、M坐標，再根據三角形的面積公式求出△PCM的面積與t的函數關系式，然后運用配方法可求出△PCM面積的最大值；（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=DC，故可得出關于t的二元一次方程，解方程即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．