Question

【題目】在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點（不與端點重合）．

對于任意矩形ABCD，下面四個結論中，①存在無數個四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數個四邊形MNPQ是矩形；③存在無數個四邊形MNPQ是菱形；④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形．所有正確結論的序號是______．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根據矩形的判定和性質，菱形的判定，正方形的判定，平行四邊形的判定定理即可得到結論．

解：

①如圖，∵四邊形ABCD是矩形，連接AC，BD交于O，
過點O直線MP和QN，分別交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，
則四邊形MNPQ是平行四邊形，
故當MQ∥PN，PQ∥MN，四邊形MNPQ是平行四邊形，
故存在無數個四邊形MNPQ是平行四邊形；故正確；
②如圖，當PM=QN時，四邊形MNPQ是菱形，故存在無數個四邊形MNPQ是矩形；故正確；
③如圖，當PM⊥QN時，存在無數個四邊形MNPQ是菱形；故正確；
④當四邊形MNPQ是正方形時，MQ=PQ，
則△AMQ≌△DQP，
∴AM=QD，AQ=PD，
∵PD=BM，
∴AB=AD，
∴四邊形ABCD是正方形與任意矩形ABCD矛盾，故錯誤；
故答案為：①②③．