Question

【題目】在△ABC中，BA=BC，BE平分∠ABC，CD⊥BD，且CD=BD．

（1）求證：BF=AC；

（2）若AD=，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】

（1）已知AB=AC，BE平分∠ABC，根據等腰三角形三線合一的性質可得BE⊥AC，所以∠ABE+∠A=90°，再由∠ACD+∠A=90°，根據同角的余角相等可得∠ABE=∠ACD，利用ASA判定△BDF≌△CDA，根據全等三角形的性質即可證得BF=AC；（2）如圖，過點F作FG⊥BC于點G， 根據角平分線的性質定理可得FD=FG，由△BDF≌△CDA即可得DF=AD==FG，已知CD⊥BD，CD=BD，根據等腰三角形的性質可得∠DCB=45°，即可求得CF=2 .

（1）∵AB=AC，BE平分∠ABC

∴BE⊥AC

∴∠ABE+∠A=90°

∵CD⊥AB

∴∠ACD+∠A=90°

∴∠ABE=∠ACD

∵∠ADC=∠BDF=90°，BD=CD

∴△BDF≌△CDA（ASA）

∴BF=AC

（2）如圖，過點F作FG⊥BC于點G， 則FD=FG .

∵△BDF≌△CDA

∴DF=AD==FG

∵CD⊥BD，CD=BD

∴∠DCB=45°

∴CF=2