Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P與點Q不重合，以點P為圓心作經過Q的圓，則稱該圓為點P、Q的“相關圓”
（1）已知點P的坐標為（2，0） ①若點Q的坐標為（0，1），求點P、Q的“相關圓”的面積；
②若點Q的坐標為（3，n），且點P、Q的“相關圓”的半徑為 ，求n的值；
（2）已知△ABC為等邊三角形，點A和點B的坐標分別為（﹣ ，0）、（ ，0），點C在y軸正半軸上，若點P、Q的“相關圓”恰好是△ABC的內切圓且點Q在直線y=2x上，求點Q的坐標．
（3）已知△ABC三個頂點的坐標為：A（﹣3，0）、B（ ，0），C（0，4），點P的坐標為（0， ），點Q的坐標為（m， ），若點P、Q的“相關圓”與△ABC的三邊中至少一邊存在公共點，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵PQ= = = ，

∴S=πr2=5π．

②過點Q作QH⊥x軸于H．

∵HQ= =2，

∴Q點坐標為（3，2）或（3，﹣2）．

∴n=2或﹣2

（2）解：如圖，

在Rt△OAC中，∠ACO=30°，

∴OC= OA=3，

∴C點坐標為（0，3），

∴△ABC的內切圓的圓心的坐標為（0，1），半徑為1，

∴P（0，1），

設Q（x，2x），則有x2+（2x﹣1）2=1，

解得x= ，

∴Q（ ， ）

（3）解：如圖3中，

①當相關圓與AC、AB相切時半徑有最小值 ．

②當相關圓經過點B時，半徑有最大值 ，

∴﹣ ≤m≤﹣ ， ≤m≤

【解析】（1）①根據PQ= = = ，求出⊙P的半徑即可解決問題；②過點Q作QH⊥x軸于H．利用勾股定理求出QH的值，即可解決問題；（2）在Rt△OAC中，∠ACO=30°，可得OC= OA=3，推出C點坐標為（0，3），推出△ABC的內切圓的圓心的坐標為（0，1），半徑為1，推出P（0，1），設Q（x，2x），則有x2+（2x﹣1）2=1，求出x即可；（3）①當相關圓與AC、AB相切時，可得半徑有最小值 ．②當相關圓經過點B時，可得半徑最大值 ，由此即可解決問題；