Question

【題目】如圖，將邊長為6的正三角形紙片ABC按如下順序進行兩次折疊，展平后，得折痕AD，BE（如圖①），點O為其交點．

（1）探求AO到OD的數量關系，并說明理由；
（2）如圖②，若P，N分別為BE，BC上的動點．
（Ⅰ）當PN+PD的長度取得最小值時，求BP的長度；
（Ⅱ）如圖③，若點Q在線段BO上，BQ=1，則QN+NP+PD的最小值= ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：AO=2OD，

理由：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，

∴AO=OB，

∵BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴∠BDO=90°，

∴OB=2OD，

∴OA=2OD；

（2）

如圖②，作點D關于BE的對稱點D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，

則此時PN+PD的長度取得最小值，

∵BE垂直平分DD′，

∴BD=BD′，

∵∠ABC=60°，

∴△BDD′是等邊三角形，

∴BN= BD= ，

∵∠PBN=30°，

∴ = ，

∴PB= ；

如圖③，作Q關于BC的對稱點Q′，作D關于BE的對稱點D′，

連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．

根據軸對稱的定義可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，

∴△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，

∴∠D′BQ′=90°，

∴在Rt△D′BQ′中，

D′Q′= = ．

∴QN+NP+PD的最小值= ，

故答案為： ．

【解析】（1）根據等邊三角形的性質得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根據直角三角形的性質即可得到結論；（2）（Ⅰ）如圖②，作點D關于BE的對稱點D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時PN+PD的長度取得最小值，根據線段垂直平分線的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等邊三角形，得到BN= BD= ，于是得到結論；（Ⅱ）如圖③，作Q關于BC的對稱點Q′，作D關于BE的對稱點D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．根據軸對稱的定義得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，解直角三角形即可得到結論．
【考點精析】關于本題考查的三角形的“三線”，需要了解1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內部，是三角形內切圓的圓心，稱為內心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內才能得出正確答案．