Question

【題目】圖1是一個小朋友玩“滾鐵環”的游戲，鐵環是圓形的，鐵環向前滾動時，鐵環鉤保持與鐵環相切．將這個游戲抽象為數學問題，如圖2．已知鐵環的半徑為25 cm，設鐵環中心為O，鐵環鉤與鐵環相切點為M，鐵環與地面接觸點為A，∠MOA=α，且sinα=．

(1)求點M離地面AC的高度BM；

(2)設人站立點C與點A的水平距離AC=55 cm，求鐵環鉤MF的長度．

Answer 1

【答案】（1）BM=5cm；（2）MF=50cm．

【解析】

（1）過M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N．那么求BM的長就轉化為求HA的長，而要求出HA，必須先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα的值，且鐵環的半徑為5個單位即OM=5，可求得HM的值，從而求得HA的值；

（2）因為∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，又因為sin∠MOA=，所以可得出FN和FM之間的數量關系，即FN=FM，再根據MN=HN-HM，利用勾股定理即可求出FM的長．

過M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N，

（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=25，

HM=OM×sinα=15，

所以OH=20，

MB=HA=25-20=5，

所以點M距地面的高度BM為5cm；

（2）∵鐵環鉤與鐵環相切，

∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，

∴=sin∠MOA=，

∴FN=FM，

在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC-AB=55-15=40，

∵FM2=FN2+MN2，

即FM2=（FM）2+402，

解得：FM=50，

∴鐵環鉤的長度FM為50cm．