Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過A(4，0) B(1，3)兩點，點C 、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H

（1）求拋物線的解析式．

（2）直接寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積．

（3）點P是拋物線BA段上一動點，當△ABP的面積為3時，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x；（2）點C的坐標為（3，3），3；（3）點P的坐標為（2，4）或（3，3）

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入即可求出解析式；

（2）求出拋物線的對稱軸，根據對稱性得到點C的坐標，再利用面積公式即可得到三角形的面積；

（3）先求出直線AB的解析式，過P點作PE∥y軸交AB于點E，設其坐標為P（a，-a2+4a），得到點E的坐標為(a，-a+4)，求出線段PE，即可根據面積相加關系求出a，即可得到點P的坐標.

（1）把點A（4，0），B(1，3)代入拋物線y=ax2+bx中，得

，得，

∴拋物線的解析式為y=-x2+4x；

(2)∵，

∴對稱軸是直線x=2，

∵B(1，3)，點C 、B關于拋物線的對稱軸對稱，

∴點C的坐標為（3，3），BC＝2，

點A的坐標是（4，0），BH⊥x軸，

∴S△ABC= =；

（3）設直線AB的解析式為y=mx+n，將B，A兩點的坐標代入

得，解得，

∴y=-x+4，

過P點作PE∥y軸交AB于點E，P點在拋物線y=-x2+4x的AB段，

設其坐標為（a，-a2+4a），其中1<a<4，則點E的坐標為(a，-a+4)，

∴PE=(-a2+4a)-( -a+4)=-a2+5a-4，

∴S△ABP= S△PEB+ S△PEA=×PE×3=(-a2+5a-4)=，

得a1=2，a2=3，

P1(2，4)，P2(3，3)即點C，

綜上所述，當△ABP的面積為3時，點P的坐標為（2，4）或（3，3）.