Question

【題目】如圖，拋物線的頂點為，與軸交于點，與軸交于，兩點（點在點的左側）。

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接，，，試證明為直角三角形；

（3）若點在拋物線上，軸于點，以、、為頂點的三角形與相似，試求出所有滿足條件的點的坐標。

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）所有滿足條件的點的坐標為或或

【解析】

（1）根據二次函數頂點坐標公式得到關于b，c的方程組，然后求解方程組即可；

（2）先求得A點坐標，再利用兩點的距離公式求得△ACD的邊長，然后根據勾股定理的逆定理即可得證；

（3）設，分兩種情況討論：①若，則；②若，則；分別代入求得符合題意的x的值即可得解.

解：（1）由題意得，解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）令，解得或，

由題意點，

∴，，，

∴，

∴為直角三角形；

（3）設，分兩種情況討論：

①若，如圖1，

則，即，

整理，得，

解得，（與點重合，舍去），

當時，，

∴此時，點的坐標為；

②若，如圖2，

則，即，

整理，得，解得，，

當時，；當時，，

∴此時，點的坐標為或；

綜上所述，所有滿足條件的點的坐標為或或.