Question

【題目】如圖，直線 軸于點 ，點是直線 上的動點．直線 交 于點 ，過點 作直線 垂直于 ，垂足為 ，過點 ， 的直線 交 于點 E，當直線 ，，能圍成三角形時，設該三角形面積為 ，當直線 ，，能圍成三角形時，設該三角形面積為 ．

（1）若點 在線段 上，且 ，則 點坐標為_________；

（2）若點 在直線上，且，則的度數為_______.

Answer 1

【答案】 或

【解析】

（1）設B的坐標是（2，m），則△BCD是等腰直角三角形，即可表示出S1，求得直線l1的解析式，解方程組即可求得E的坐標，則S2的值即可求得，根據S1=S2，即可得到一個關于m的方程從而求得m的值；
（2）分類討論，根據S2=S1，即可得到一個關于m的方程從而求得m的值，根據勾股定理，求得角的度數．

解：（1）設B的坐標是（2，m），
∵直線l2：y=x+1交l1于點C，
∴∠ACE=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
BC=|3-m|，
則BD=CD=BC=|3-m|，

S1=×（|3-m|）2=（3-m）2．
設直線l4的解析式是y=kx，過點B，
則2k=m，解得：k=，
則直線l4的解析式是y=x．
根據題意得： ，解得：，
則E的坐標是（，）．
S△BCE=BC|2|=|3-m|||=．
∴S2=S△BCE-S1=- （3-m）2 ．
當S1=S2時，-（3-m）2=（3-m）2．
解得：m1=4或m2=0，
易得點C坐標為（2，3），即AC=3，
∵點B在線段AC上，
∴m1=4不合題意舍去，
則B的坐標是（2，0）；
（2）分三種情況：
①當點B在線段AC上時
當S2=S1時，-（3-m）2= （3-m）2．
解得：m=4-2 或2（不在線段AC上，舍去），或m=3（l2和l4重合，舍去）．
則AB=4-2．
在OA上取點F，使OF=BF，連接BF，設OF=BF=x．

則AF=2-x，根據勾股定理，x2＝(2x)2+(42)2，
解得：x＝84，
∴sin∠BFA=＝，
∴∠BFA=30°，
∴∠BOA=15°；
或由s1=s2可得CD=DE，所以BD是CE的中垂線，所以BC=BE，根據∠BCD=45°即可知CB⊥BO，所以B必須與A重合，所以B（2，0），
②當點B在AC延長線上時，

此時，S2＝S△BCE+S1＝+ (3m)2
當S2=S1時，得：+(3m)2＝

(3m)2，
解得符合題意有：AB=4+2．
在AB上取點G，使BG=OG，連接OG，設BG=OG=x，
則AG=4+2-x．根據勾股定理，得x2＝(4+2x)2+22，
解得：x=4，
∴sin∠OGA=＝，
∴∠OGA=30°，
∴∠OBA=15°，
∴∠BOA=75°；

③當點B在CA延長線上時，S1＞S2，
此時滿足條件的點B不存在，
綜上所述，∠BOA的度數為15°或75°．