Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y1=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數y2=（k≠0）的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，過點A作AH⊥x軸于點H，點O是線段CH的中點，AC=4，cos∠ACH=．

（1）求該反比例函數和一次函數的解析式；

（2）在x軸上是否存在點P，使三角形PAC是等腰三角形？若存在，請求出P點坐標；不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數的解析式為：y2=﹣，一次函數解析式為y1=﹣2x+4；（2）P點坐標為（﹣8，0）．

【解析】分析：(1)解直角△ACH求得CH與AH，即可得點A的坐標；由點A，C的坐標，用待定系數法求直線AB的解析式；(2)因為點A，C確定，點P在x軸上，所以設P(m，0)，分三種情況求解，①頂點是點A時，②頂點是點C時，③頂點是點P時.

詳解：(1)∵AC＝，cos∠ACH＝，∴，

解得CH＝4，

由勾股定理得，AH＝＝8，

∵點O是線段CH的中點，

∴點A的坐標為(﹣2，8)，點C的坐標為(2，0)，

∴反比例函數的解析式為：y2＝﹣，

由點A，C的坐標列方程組，

解得，，

∴一次函數解析式為y1＝﹣2x＋4；

(2)設P點坐標為(m，0)，

①當點A為等腰三角形的頂點時，PH＝CH＝4，則OP＝6，

∴P點坐標為(﹣6，0)；

②當點C為等腰三角形的頂點時，PC＝CA＝，

則OP＝＋2或﹣2，

∴P點坐標為(2﹣，0)或(＋2，0)；

③當點P為頂點時，點P為AC垂直平分線與x軸的交點，PA＝PC，

則(2﹣m)2＝(﹣2﹣m)2＋82，

解得，m＝﹣8，

∴P點坐標為(﹣8，0)．，