Question

【題目】已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且∠ODB=∠AEC．

（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）求證：CE2=EHEA；
（3）若⊙O的半徑為5，sinA= ，求BH的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，

∴∠ODB=∠ABC，

∵OF⊥BC，

∴∠BFD=90°，

∴∠ODB+∠DBF=90°，

∴∠ABC+∠DBF=90°，

即∠OBD=90°，

∴BD⊥OB，

∴BD是⊙O的切線.

（2）證明：連接AC，如圖1所示：

∵OF⊥BC，

∴ ，

∴∠CAE=∠ECB，

∵∠CEA=∠HEC，

∴△CEH∽△AEC，

∴ ，

∴CE2=EHEA；

（3）解：連接BE，如圖2所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵⊙O的半徑為5，sin∠BAE= ，

∴AB=10，BE=ABsin∠BAE=10× =6，

∴EA= = =8，

∵ ，

∴BE=CE=6，

∵CE2=EHEA，

∴EH= = ，

在Rt△BEH中，BH= = = ．

【解析】（1）由圓周角定理和已知條件，證出∠ODB=∠ABC，再證出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切線；（2）連接AC，由垂徑定理得出弧BE=弧CE，得出∠CAE=∠ECB，進而證明出△CEH∽△AEC，得出對應邊成比例，即可得出結論；（3）連接BE，由圓周角定理得出∠AEB=90°，由三角函數求出BE的長，再根據勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的結論求出EH，最后根據勾股定理求出BH即可.