Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO．

（1）已知BD= ，求正方形ABCD的邊長；
（2）猜想線段EM與CN的數量關系并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴2AB2=BD2，

∵BD= ，

∴AB=1，

∴正方形ABCD的邊長為1；

（2）解：CN=2EM

證明方法一、理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA=OC

∵CF=CA，CE是∠ACF的平分線，

∴CE⊥AF，AE=FE

∴EO為△AFC的中位線

∴EO∥BC

∴

∴在Rt△AEN中，OA=OC

∴EO=OC= AC，

∴CM= EM

∵CE平分∠ACF，

∴∠OCM=∠BCN，

∵∠NBC=∠COM=90°，

∴△CBN∽△COM，

∴ ，

∴CN= CM，

即CN=2EM．

證明方法二、∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=45°=∠DBC，

由（1）知，在Rt△ACE中，EO= AC=CO，

∴∠OEC=∠OCE，

∵CE平分∠ACF，

∴∠OCE=∠ECB=∠OEC，

∴EO∥BC，

∴∠EOM=∠DBC=45°，

∵∠OEM=∠OCE

∴△EOM∽△CAN，

∴ ，

∴CN=2CM．

【解析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質、三角形中位線、正方形的性質等，利用比例式判斷出CM=EM和CN=CM是解題的關鍵.