Question

【題目】綜合與實踐

問題情境：

在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“等腰三角形的剪拼”為主題開展數學活動．如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．將△ABC沿BC邊上的中線AD剪開，得到△ABD和△ACD．

操作發現：

（1）樂學小組將圖1中的△ACD以點D為旋轉中心，按逆時針方向旋轉，使得A'C'⊥AD，得到圖2，A'C'與AB交于點E，則四邊形BEC'D的形狀是　 　．

（2）縝密小組將圖1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'與AB交于點M，A'C'與AD交于點N，得到圖3，判斷四邊形MNDD'的形狀，并說明理由．

實踐探究：

（3）縝密小組又發現，當（2）中線段DD'的長為acm時，圖3中的四邊形MNDD'會成為正方形，求a的值．

（4）創新小組又把圖1中的△ACD放到如圖4所示的位置，點A的對應點A'與點D重合，點D的對應點D'在BD的延長線上，再將△A'C'D'繞點D逆時針旋轉到如圖5所示的位置，DD'交AB于點P，DC'交AB于點Q，DP＝DQ，此時線段AP的長是　 　cm．

Answer 1

【答案】(1)菱形；(2)四邊形MNDD'是矩形，理由見解析；(3)；(4)

【解析】

操作發現：
（1）由等腰三角形的性質可得∠B=∠C，BD=CD=8cm，∠BAD=∠CAD，由余角的性質可得∠ADC'=∠BAD，可得AB∥C'D，可證四邊形BDC'E是平行四邊形，且BD=C'D，可證四邊形BEC'D是菱形；
（2）由“ASA”可證△MDB'≌△NDC'，可得DN=MD'，由平移性質可得MD'∥DN，可證四邊形MNDD'是平行四邊形，且∠BD'M=90°，可證四邊形MNDD'是矩形；
實踐探究：
（3）由正方形的性質可得D'M∥DN，D'M=D'D=acm，由相似三角形的性質可求解；
（4）過點D作DG⊥AB于點G，通過證明△DQP∽△AQD，可求AQ=AD=6，通過證明△DGA∽△BDA，可得，可求AG的長，即可求解．

解：操作發現：

（1）如圖1：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．

∴∠B＝∠C，BD＝CD＝8cm，∠BAD＝∠CAD，

∵△ACD以點D為旋轉中心，按逆時針方向旋轉，

∴C'D＝BD，

∵AD⊥BD，A'C'⊥AD，

∴A'C'∥BD，∠ADC'＝90°﹣∠C'，

∴∠ADC'＝90°﹣∠B，且∠BAD＝90°﹣∠B，

∴∠ADC'＝∠BAD，

∴AB∥C'D，

∴四邊形BDC'E是平行四邊形，

∵BD＝C'D，

∴四邊形BEC'D是菱形，

故答案為：菱形；

（2）如圖3，四邊形MNDD'是矩形，

理由如下：

∵BD＝CD，

∴BD'＝CD，且∠B＝∠C'，∠MD'B＝∠NDC'

∴△MDB'≌△NDC'（ASA）

∴MD'＝ND，

∵△ACD沿DB方向平移，

∴MD'∥DN，

∴四邊形MNDD'是平行四邊形，

∵∠BD'M＝90°，

∴四邊形MNDD'是矩形；

（3）由圖形（1）可得AB＝10cm，BD＝8cm，

∴AD＝＝＝6cm，

∵四邊形MNDD'為正方形，

∴D'M∥DN，D'M＝D'D＝acm，

∴△BD'M∽△BDA，

∴，

∴，

∴a＝；

（4）如圖5，過點D作DG⊥AB于點G，

∵DP＝DQ，

∴∠DQP＝∠DPQ，QG＝PG，

又∵∠A＝∠PDQ，

∴△DQP∽△AQD，

∴∠ADQ＝∠DPQ，

∴∠ADQ＝∠AQD，

∴AQ＝AD＝6，

∵∠A＝∠A，∠DGA＝∠BDA，

∴△DGA∽△BDA，

∴，

∴，

∴AG＝，

∴GQ＝AQ﹣AG＝6﹣＝，

∴PG＝QG＝，

∴AP＝AG﹣PG＝﹣＝，

故答案為：．