Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，I為△ABC的內心，AI的延長線交BC于D，若OI⊥AD，則sin∠CAD的值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

延長AD交⊙O于R，連接BI，BR，易證△BRI為等腰直角三角形，OI為△ABR的中位線，設OI＝a，則BR＝2a＝IR＝AI，則OA＝a，則sin∠CAD＝sin∠OAI＝．

解：如圖，

延長AD交⊙O于R，連接BI，BR，

∵I為△ABC的內心，

∴∠CAR＝∠BAR，∠ABI＝∠CBI，

∵∠CAR＝∠CBR，

∴∠RIB＝∠IAB+∠IBA＝∠CAR+∠CBI＝∠CBR+∠CBI＝∠RBI，

∴RB＝BI，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BRA＝90°，

∴∠△BRI為等腰直角三角形，

∵O是AB中點，OI∥BR，

∴I是AR的中點，

∴OI為△ABR的中位線，

設OI＝a，則BR＝2a＝IR＝AI，

在Rt△AOI中，根據勾股定理，得

OA＝＝a，

∴sin∠CAD＝sin∠OAI＝＝＝．

所以sin∠CAD的值為．

故選：D．