Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線AC上有一點E，且CE＝4AE，點F在DC的延長線上，連接EF，過點E作EG⊥EF，交CB的延長線于點G，連接GF并延長，交AC的延長線于點P，若AB＝5，CF＝2，則線段EP的長是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再證明△CEF∽△FEP，可得EF2＝ECEP，由此即可解決問題．

如圖，作FH⊥PE于H．

∵四邊形ABCD是正方形，AB＝5，

∴AC＝5，∠ACD＝∠FCH＝45°，

∵∠FHC＝90°，CF＝2，

∴CH＝HF＝，

∵CE＝4AE，

∴EC＝4，AE＝，

∴EH＝5，

在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5）2+（）2＝52，

∵∠GEF＝∠GCF＝90°，

∴E，G，F，C四點共圓，

∴∠EFG＝∠ECG＝45°，

∴∠ECF＝∠EFP＝135°，

∵∠CEF＝∠FEP，

∴△CEF∽△FEP，

∴，

∴EF2＝ECEP，

∴EP＝

故答案為：．