Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上一點．F是線段BC延長線上一點，且CF=AE連接BE

（1）發現問題：如圖①，若E是線段AC的中點，連接EF，其他條件不變，猜想線段BE與EF的數量關系

（2）探究問題：如圖②，若E是線段AC上任意一點，連接EF，其他條件不變，猜想線段BE與EF的數量關系是什么？請證明你的猜想

（3）解決問題：如圖③，若E是線段AC延長線上任意一點，其他條件不變，且∠EBC=30°，AB=3請直接寫出AF的長度

Answer 1

【答案】（1）BE=EF；（2）BE=EF，證明見解析；（3）

【解析】

（1）由菱形的性質和已知條件得出△ABC是等邊三角形，得出∠BCA=60°，由等邊三角形的性質和已知條件得出CE=CF，由等腰三角形的性質和三角形的外角性質得出∠CBE=∠F，即可得出結論；

（2）過點E作EG∥BC交AB延長線于點G，先證明△ABC是等邊三角形，得出AB=AC，∠ACB=60°，再證明△AGE是等邊三角形，得出AG=AE=GE，∠AGE=60°，然后證明△BGE≌△ECF，即可得出結論；

（3）過點A作AM⊥BC于點M，根據三角形外角的性質求得∠E=30°，然后根據含30°直角三角形的性質求AE，CM，AC的長，繼而利用勾股定理求解，

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BCA=60°，

∵E是線段AC的中點，

∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，

∵CF=AE，

∴CE=CF，

∴∠F=∠CEF=∠BCA=30°，

∴∠CBE=∠F=30°，

∴BE=EF；

故答案為：BE=EF；

（2）結論成立；理由如下：

過點E作EG∥BC交AB于點G，如圖2所示：

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，

∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠ECF=120°，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

又∵EG∥BC，

∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，

∴△AGE是等邊三角形，

∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，

∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF，

又∵CF=AE，

∴GE=CF，

在△BGE和△CEF中，，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF．

（3）過點A作AM⊥BC于點M

由（1）可知，△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°

又∵∠EBC=30°，

∴∠ABE=90°，∠E=30°

在Rt△ABE中，AE=2AB=6

∴CF=6

又在等邊△ABC中，AM⊥BC

∴CM=，

∴在Rt△AMF中，．