Question

【題目】若二次函數y＝ax2+bx﹣2的圖象與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，且過點C (3，﹣2)．

（1）求二次函數表達式；

（2）若點P為拋物線上第一象限內的點，且S△PBA＝5，求點P的坐標；

（3）在AB下方的拋物線上是否存在點M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出點M到y軸的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點M到y軸的距離為

【解析】

(1)由待定系數法可求解析式；

(2)設直線BP與x軸交于點E，過點P作PD⊥OA于D，設點P(a，a2-a-2)，則PD=a2-a-2，利用參數求出BP解析式，可求點E坐標，由三角形面積公式可求a，即可得點P坐標；

(3)如圖2，延長BM到N，使BN=BO，連接ON交AB于H，過點H作HF⊥AO于F，由全等三角形的性質和銳角三角函數求出點N坐標，求出BN解析式，可求點M坐標，即可求解．

(1)∵二次函數y=ax2+bx-2的圖象過點A(4，0)，點C (3，-2)，

∴，

解得：

∴二次函數表達式為：；

(2)設直線BP與x軸交于點E，過點P作PD⊥OA于D，

設點P(a，a2-a-2)，則PD=a2-a-2，

∵二次函數與y軸交于點B，

∴點B(0，-2)，

設BP解析式為：，

∴a2-a-2=ka﹣2，

∴，

∴BP解析式為：y=()x﹣2，

∴y=0時，，

∴點E(，0)，

∵S△PBA=5，

∵S△PBA=,

∴，

∴a=-1(不合題意舍去)，a=5，

∴點P(5，3)；

(3)如圖2，延長BM到N，使BN=BO，連接ON交AB于H，過點H作HF⊥AO于F，

∵BN=BO，∠ABO=∠ABM，AB=AB，

∴△ABO≌△ABN(SAS)

∴AO=AN，且BN=BO，

∴AB垂直平分ON，

∴OH=HN，AB⊥ON，

∵AO=4，BO=2，

∴AB=，

∵S△AOB=×OA×OB=×AB×OH，

∴OH=，

∴AH=，

∵cos∠BAO=，

∴，

∴AF=，

∴HF=，

OF=AO﹣AF= 4﹣=，

∴點H(，-)，

∵OH=HN，

∴點N(，﹣)

設直線BN解析式為：y=mx﹣2，

∴﹣=m﹣2，

∴m=﹣，

∴直線BN解析式為：y=﹣x﹣2，

∴x2﹣x﹣2=﹣x﹣2，

∴x=0(不合題意舍去)，x=，

∴點M坐標(，﹣)，

∴點M到y軸的距離為．