Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，BD＝6cm，AD＝8cm，AB＝10cm，點E從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點G從點C出發，沿CB方向勻速運動，速度為2cm/s；當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．連接OE，過點G作GF∥BD，設運動時間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：

（1）當t為何值時，△BOE是等腰三角形？

（2）設五邊形OEBGF面積為S，試確定S與t的函數關系式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S五邊形OEBGF：S△ACD＝19：40？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

（4）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得OB平分∠COE，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t為3或或秒；（2）S五邊形BEOFG＝﹣t+12；（3）2秒；（4）存在t為秒時，使OB平分∠COE

【解析】

（1）證出△ADB為直角三角形，且∠ADB＝90°，分以下三種情況討論，①當BO＝BE時，可得出t＝3，②當BO＝EO時，如圖1，過點O作OH⊥BE于點H，證明△BOH∽△BAD，可得出答案；③當BE＝OE，如圖2，過點E作EK⊥OB于點K，證明△BEK∽△BAD，由比例線段可得出答案；

（2）證明△CFG∽△COB，求出S△CFG＝，根據S五邊形BEOFG＝S△BOE+S四邊形BOFG可得出答案；

（3）由（2）的結論可得出t的方程，解方程即可得解；

（4）證明△EOK∽△COB，可得出，則可得解．

（1）在△ADB中，

∵AD2+BD2＝82+62＝100＝AB2，

∴△ADB為直角三角形，且∠ADB＝90°，

若△BOE為等腰三角形，分以下三種情況討論，

①當BO＝BE時，

t＝3，

②當BO＝EO時，如圖1，過點O作OH⊥BE于點H，

∵∠ABD＝∠ABD，∠OHB＝∠ADB＝90°，

∴△BOH∽△BAD，

∴，

即，

則BH＝，OH＝，

∵OE＝OB，OH⊥BE，

∴BH＝BE，

即，

∴t＝，

③當BE＝OE，如圖2，

過點E作EK⊥OB于點K，

∵∠ABD＝∠ABD，∠BKE＝∠ADB＝90°，

∴△BEK∽△BAD，

∴，

即，

∴BK＝t，EK＝t，

∵OE＝EB，EK⊥BO，

∴BK＝BO，

即，

∴t＝，

答：當t為3或或秒時，△BOE是等腰三角形；

（2）∵GF∥BD，

∴∠CFG＝∠COB，∠CGF＝∠CBO，

∴△CFG∽△COB，

∴，

∴S△CFG＝，

∴S四邊形BOFG＝S△BOC﹣S△CFG＝12﹣，

∵S△BOE＝BE×OH＝，

∴S五邊形BEOFG＝S△BOE+S四邊形BOFG＝12﹣＝﹣t+12，

（3）若S五邊形OEBGF：S△ACD＝19：40，

∴，

整理得：5t2﹣8t﹣4＝0，

解得：t1＝（舍去），t2＝2．

答：存在t為2秒時，使S五邊形OEBGF：S△ACD＝19：40；

（4）若OB平分∠COE，

則∠BOE＝∠BOC，∠EKO＝∠CBO＝90°，

∴△EOK∽△COB，

∴，

∴，

解得：t＝．

答：存在t為秒時，使OB平分∠COE．