Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，邊AB是半圓O的直徑，點E是CD的中點，BE交半圓O于點F，連接DF．

（1）求證：DF是半圓O的切線；

（2）若AB =8，AD =3，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OF、OD、AF，根據矩形的性質和已知條件可得DE=CD，OB=AB，DC∥AB，∠OAD=90°，然后利用SAS證出△AOD≌△FOD，即可證出∠OAD=∠OFD=90°，然后根據切線的判定定理即可證出結論；

（2）根據相似三角形的判定證出Rt△AOD∽Rt△FBA，然后列出比例式，根據比例式設AF=3x，BF=4x，然后根據勾股定理列出方程即可求出結論．

（1）證明：連接OF、OD、AF，

在矩形ABCD中，

∵點E是CD的中點，點O是AB的中點，

∴DE=CD，OB=AB，DC∥AB，∠OAD=90°

∴四邊形OBED為平行四邊形

∴OD∥BF

∴∠AOD=∠OBF，∠OFB=∠FOD

∵OB=OF

∴∠OBF=∠OFB

∴∠AOD=∠FOD，

∵OA=OF，OD=OD

∴△AOD≌△FOD（SAS）

∴∠OAD=∠OFD=90°，

∴OF⊥DF，即DF為半圓O的切線

（2）由（1）知：在Rt△AOD和Rt△FBA中，

∠AOD=∠OBF，∠DAO=∠BFA=90°

∴Rt△AOD∽Rt△FBA

∴

又在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，則OA=4，

∴

∴可設AF=3x，BF=4x

在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2

82=（3x）2+（4x）2

解得，x1=，x2=－(舍)

即BF=