Question

【題目】如圖，點是⊙外一點，與⊙相切于點，交⊙于點，點，分別為線段，上的動點，若，，則的最小值為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

延長PO交⊙于Q，過點A作AA＇⊥OP于C，過A＇作A＇N⊥AP于N，延長PB交⊙于Q，根據切割線定理，得到，先求出圓的半徑，再求出，由和求出AC，2AC= AA＇，AN=，求出AN，即AM=MN的最小值；

延長PO交⊙于Q，過點A作AA＇⊥OP于C，過A＇作AN⊥AP于N，延長PB交⊙于Q，設⊙半徑為r，

根據切割線定理得，，

∴，

∴r=3；

∴OA=3，OP=5；

∴；

∵AA＇⊥OP，

∴°，

∴P+PAA＇=90°，2+PAA＇=90°，1+PAA＇=90°，

即1=2=P，

∴，

∴，

∴AC=，

∴AA＇=，

又，

∴AN=.

∴AM+MN的最小值為：.

故答案為：.