Question

【題目】如圖，已知 OACB 的頂點 O、A、B 的坐標分別是（0，a）、（b，0），且a、b 滿足 b ．

（1）如圖 1，a= ，b= ，點 C 的坐標 ．

（2）如圖 2，點 P 為邊 OB 上一動點，將線段 AP 繞 P 點順時針旋轉 90°至 PD．當點 P 從O 運動到 B 的過程中，求點 D 運動路徑的長度．

（3）如圖 3，在（2）的條件下，作等腰 Rt△BED，且∠DBE＝90°，再作等腰 Rt△ECF， 且∠ECF＝90°，直線 FE 分別交 AC、OB 于點 M、N，求證：FM＝EN．

Answer 1

【答案】（1）；；（，）；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

（1）根據 b 可得且，從而確定a的值，代入求得b的值，然后利用平行四邊形的性質確定點C的坐標；

（2）點P的運動軌跡為一條線段，則點D的運動軌跡也為一條線段，當點P與點O重合時，點D與點B重合，當點P與點B重合時，點D的位置如圖1所示，點D的運動路徑為BD，然后利用正方形和旋轉的性質算出BD=；

（3）由（2）點D的運動路徑可知點D在∠OBC的外角平分線上，過點F作FG垂直AC于點G，過E作EH垂直AC于點H，已知△FCE為等腰直角三角形，可推出△FGC≌△CHE（AAS），過點E作EQ垂直OB于點Q，可推出△FGM≌△ENQ（AAS），可得FM=EN．

解：∵ b

∴且

解得

∴將代入 b

∴b=

∴A（0，）、B（，0）

∴OA=OB=，

∵四邊形OACB為平行四邊形，∠AOB=90°，

∴四邊形OACB為正方形，

∴C點坐標為（，）

故答案為：；；（，）；

（2）如圖1所示，

∵點P的運動軌跡為一條線段，則點D的運動軌跡也為一條線段，

當點P與點O重合時，點D與點B重合，當點P與點B重合時，點D的位置如圖1所示，

∴點D的運動路徑為BD，

又∵線段 AP 繞 P 點順時針旋轉 90°至 PD且由（1）可知四邊形四邊形OACB為正方形

∴BD=AB=；

（3）如圖2所示，

由（2）點D的運動路徑可知點D在∠OBC的外角平分線上，

∴∠DBC=∠EBC=∠EBO=45°，

∴ED∥OB，

過點F作FG垂直AC于點G，過E作EH垂直AC于點H，

∴∠FGC=∠EHC=90°，

∵△FCE為等腰直角三角形，

∴FC=EC，∠FCE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠FCG=∠ECB=∠CEH，

∴△FGC≌△CHE（AAS），

∴CH=FG，

過點E作EQ垂直OB于點Q，

則BQ=EQ=CH=FG，

∵∠FGM=∠EQN=90°，

∠FMG=∠ENQ，

∴△FGM≌△ENQ（AAS），

∴FM=EN．