Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線y=﹣x2+2x+6與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，其對稱軸與拋物線交于點D．與x軸交于點E．

（1）求點A，B，D的坐標；

（2）點G為拋物線對稱軸上的一個動點，從點D出發，沿直線DE以每秒2個單位長度的速度運動，過點C作x軸的平行線交拋物線于M，N兩點（點M在點N的左邊）．

設點G的運動時間為ts．

①當t為何值時，以點M，N，B，E為頂點的四邊形是平行四邊形；

②連接BM，在點G運動的過程中，是否存在點M．使得∠MBD=∠EDB，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）點Q為坐標平面內一點，以線段MN為對角線作萎形MENQ，當菱形MENQ為正方形時，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）；D（2，8）；（2）①見解析；②存在,理由見解析;

（3）t=．

【解析】分析：（1）令y=0，解方程﹣x2+2x+6=0，即可求出A、B點的坐標，把y=﹣x2+2x+6改寫成頂點式，根據二次函數的性質求出D點的坐標；

（2）①要使四邊形MEBN為平行四邊形，則MN=BE=4，根據二次函數的對稱性求出點M的坐標，從而求出DG的長，由DG=2t可求出t的值；②設BM交DE于P，如圖，設P（2，m），在Rt△BEP中，根據PE2+BE2=PB2，列方程求出m的值，用待定系數法求出直線BP的解析式，與二次函數解析式聯立，可求出點M的坐標；

（3）由正方形的性質得GN=GE=8﹣2t，從而表示出點N的坐標，把點N的坐標代入二次函數解析式求出t的值.

詳解：（1）當y=0時，﹣x2+2x+6=0，解得x1=﹣2，x2=6，則A（﹣2，0），B（6，0）；

∵y=﹣（x﹣2）2+8，

∴D（2，8）；

（2）①∵E（2，0），B（6，0），

∴BE=4，

∵四邊形MEBN為平行四邊形，

∴MN=BE=4，

∵MN∥x軸，

∴MG=NG=2，

∴M點的橫坐標為0，此時M（0，6）

∴2t=8﹣6，解得t=1，

∴當t為1s時，以點M，N，B，E為頂點的四邊形是平行四邊形；

②存在．

設BM交DE于P，如圖，設P（2，m）

∵∠MBD=∠EDB，

∴PD=PB=8﹣m，

在Rt△BEP中，∵PE2+BE2=PB2，

∴m2+42=（8﹣m）2，解得m=5，

∴P（2，3），

設直線BP的解析式為y=px+q，

把B（6，0），P（2，3）代入得，解得，

∴直線BP的解析式為y=﹣x+，

解方程組得或，

∴M點的坐標為（﹣，）；

（3）GE=8﹣2t，

∵菱形MENQ為正方形時，

∴GN=GE=8﹣2t，

∴N（10﹣2t，8﹣2t），

把N（10﹣2t，8﹣2t）代入y=﹣x2+2x+6得﹣（10﹣2t）2+2（10﹣2t）+6=8﹣2t，

整理得t2﹣9t+16，

∴t=．