Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形△ABO的邊長為4．

（1）求點A的坐標．

（2）若點P從點O出發以每秒1個單位的速度沿x軸正方向運動，運動時間為t秒，△PAB的面積為S，求S與t的關系式，并直接寫出t的范圍．

（3）在（2）的條件下，當點P在點B的右側時，若S＝，在平面內是否存在點Q，使點P、Q、A、B圍成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(2，2)；（2）當0≤t＜4時，S=-t+4；當t＞4時，S=t﹣4；（3）存在， Q的坐標為(3，2)或(1，2）或(7，﹣2)

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質即可得出結論；

（2）分點P在邊OB和OB的延長線上，利用三角形的面積公式即可得出結論；

（3）分三種情況，利用中點坐標公式和平行四邊形的對角線互相平分，建立方程求解即可得出結論．

解：（1）如圖1，過點A作AD⊥x軸于D，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠AOD＝60°，OD＝OB＝2，

在Rt△AOD中，AD＝OD＝2，

∴A(2，2)；

（2）由運動知，OP＝t，

當0≤t＜4時，如圖2，BP＝OB﹣OP＝4﹣t，

∴S＝S△ABP＝BPAD＝(4﹣t)×2＝﹣t+4，

當t＞4時，如圖3，BP＝OP﹣OB＝t﹣4，

∴S＝S△ABP＝BPAD4＝(t﹣4×2＝t﹣4；

（3）由（2）知，點P在點B右側時，t＞4，S＝t﹣4，

∵S＝，

∴t﹣4＝，

∴t＝5，

∴P(5，0)，

∵等邊△ABC的邊長為4，

∴B(4，0)，

∵A(2，2)，設Q(m，n)，

∵使點P、Q、A、B圍成的四邊形是平行四邊形，

∴①當AP為對角線時，

∴AP與BQ互相平分，

∴(2+5)＝(4+m)，(2+0)＝(0+n)，

∴m＝3，n＝2，

∴Q(3，2)，

②當AB為對角線時，∴AB與PQ互相平分，

∴(2+4)＝(5+m)，(2+0)＝(0+n)，

∴m＝1，n＝2，

∴Q(1，2)，

③當BP為對角線時，∴BP與AQ互相平分，

∴(4+5)＝(2+m)，(0+0)＝(2+n)，

∴m＝7，n＝﹣2，

∴Q(7，﹣2)，

即：滿足條件的點Q的坐標為(3，2)或(1，2)或(7，﹣2)．

故答案為：（1）A(2，2)；（2）當0≤t＜4時，S=-t+4；當t＞4時，S=t﹣4；（3）存在， Q的坐標為(3，2)或(1，2)或(7,﹣2).