Question

【題目】（1）操作發現：如圖①，點D是等邊△ABC的邊AB上一動點（點D與點B不重合），連接CD，以CD為邊在CD上方作等邊△CDE，連接AE，則AE與BD有怎樣的數量關系？說明理由．

（2）類比猜想：如圖②，若點D是等邊△ABC的邊BA延長線上一動點，連接CD，以CD為邊在CD上方作等邊△CDE，連接AE，請直接寫出AE與BD滿足的數量關系，不必說明理由；

Answer 1

【答案】（1）AE＝BD，理由見解析；（2）AE＝BD．

【解析】

(1)根據等邊三角形的三條邊、三個內角都相等的性質,利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△BCD≌△ACE（SAS）;然后由全等三角形的對應邊相等知AE=BD

(2)通過證明△BCD≌△ACE（SAS）,即可證明AE=BD.

解：（1）AE＝BD，理由如下：

∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴AE＝BD；

（2）AE＝BD．

理由如下：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴AE＝BD；