Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=BC=10，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BC于點D，E，連接DE和DB，過點E作EF⊥AB，垂足為F，交BD于點P．

（1）求證：AD=DE；
（2）若CE=2，求線段CD的長；
（3）在（2）的條件下，求△DPE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC
∵AB=BC，
∴BD是等腰△ABC中線，
∴AD=DE；
（2）解：∵四邊形ABED內接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，
∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴ ，
∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中點，
∴CD= ；
（3）解：延長EF交⊙O于M，

在Rt△ABD中，AD= ，AB=10，
∴BD=3 ，
∵EM⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴ ，
∴∠BEP=∠EDB，
∴△BPE∽△BED，
∴ ，
∴BP= ，
∴DP=BD-BP= ，
∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，
∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，
∴S△BDE=12，
∴S△DPE= ．
【解析】（1）根據已知條件AB是⊙O的直徑得出∠ADB=90°，再根據等腰三角形的三線合一的性質即可得出結論。
（2）根據圓內接四邊形的性質證得∠CED=∠CAB，再根據相似三角形的判定證出△CED∽△CAB，得出對應邊成比例，建立關于CD的方程，即可求出CD的長。
（3）延長EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的長，再證明△BPE∽△BED，根據相似三角形的性質得對應邊成比例求出BP的長，然后根據等高的三角形的面積之比等于對邊之比，再由三角形面積公式即可求解。