Question

【題目】如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

①當點D在AC上時，如圖（1），線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？直接寫出你猜想的結論；

②將圖（1）中的△ADE的位置改變一下，如圖（2），使∠BAD=∠CAE，其他條件不變，則線段BD，CE又有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】①BD=CE，BD⊥CE；②BD=CE，BD⊥CE，理由見解析

【解析】

試題分析：（1）BD=CE，BD⊥CE，延長BD與EC交于點F，可以證明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，即可解答；

（2）BD=CE，BD⊥CE，延長BD交AC于F，交CE于H，可以證明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，利用三角形的內角和為180°，即可得到BD⊥CE．

解：（1）BD=CE，BD⊥CE；

如圖（1），延長BD與EC交于點F，

在△ACE和△ADB中，

，

∴△ACE≌△ADB（SAS），

∴BD=CE，∠AEC=∠ADB，

∵∠ADB+∠ABD=90°

∴∠ABD+∠AEC=90°

∴∠BFE=90°，

∴BD⊥CE．

（2）結論：BD=CE，BD⊥CE，

理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD與△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE，

如圖（2），延長BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF與△HCF中，

∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC

∴∠CHF=∠BAF=90°

∴BD⊥CE．