Question

有一塊直角三角形木板如圖所示，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，根據需要，要把它加工成一個面積最大的正方形木板，設計一個方案，應怎樣裁，才能使正方形木板面積最大？并求出這個正方形木板的邊長．

Answer 1

解：方案一：如圖（1），
作CM⊥AB于M，交DE于N．
設正方形邊長為xcm．
由S_△ABC=AC•BC=AB•CM
知：CM=（1分）
∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB，（2分）
即：
∴
∴x=（3分）
方案二：如圖（2）設正方形邊長為ycm．
∵EF∥AC
∴△BFE∽△BCA，（4分）
∴
即　
∴y=（5分）
∵x＜y，
∴方案二裁出的正方形的面積最大．（6分）
這時正方形的邊長是cm．（7分）
分析：方案一：根據題意畫出圖形，作CM⊥AB于M，交DE于N．設正方形邊長為xcm，再根據直角三角形的面積得出CM的長，利用相似三角形的判定定理即可得出△CDE∽△CAB，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求出正方形的邊長；
方案二：如圖（2）設正方形邊長為ycm，利用相似三角形的判定定理即可得出△BFE∽△BCA，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求出正方形的邊長；把兩方案中正方形的邊長進行比較即可得出結論．
點評：本題考查的是相似三角形在實際生活中的應用，能根據題意畫出圖形，作出輔助線，再根據相似三角形的判定定理及性質進行解答即可．