Question

有一塊直角三角形木板如圖所示，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，根據(jù)需要，要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形木板，設(shè)計(jì)一個(gè)方案，應(yīng)怎樣裁，才能使正方形木板面積最大？并求出這個(gè)正方形木板的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：方案一：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，作CM⊥AB于M，交DE于N．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為xcm，再根據(jù)直角三角形的面積得出CM的長(zhǎng)，利用相似三角形的判定定理即可得出△CDE∽△CAB，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出正方形的邊長(zhǎng)；
方案二：如圖（2）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為ycm，利用相似三角形的判定定理即可得出△BFE∽△BCA，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出正方形的邊長(zhǎng)；把兩方案中正方形的邊長(zhǎng)進(jìn)行比較即可得出結(jié)論．

解答：解：方案一：如圖（1），
作CM⊥AB于M，交DE于N．
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為xcm．
由S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CM
知：CM=

AC•BC

AB

=

12

5

（1分）
∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB，（2分）
即：

CN

CM

=

DE

AB

∴

12 5 -x

12 5

=

x

5

∴x=

60

37

（3分）
方案二：如圖（2）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為ycm．
∵EF∥AC
∴△BFE∽△BCA，（4分）
∴

BF

BC

=

EF

AC

即　

3-y

3

=

y

4

∴y=

12

7

=

60

35

（5分）
∵x＜y，
∴方案二裁出的正方形的面積最大．（6分）
這時(shí)正方形的邊長(zhǎng)是

12

7

cm．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，能根據(jù)題意畫(huà)出圖形，作出輔助線，再根據(jù)相似三角形的判定定理及性質(zhì)進(jìn)行解答即可．