Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，A(t，0)，B，對于線段AB和x軸上方的點P給出如下定義：當∠APB＝60°時，稱點P為AB的“等角點”．

(1)若，在點C(0，)，D，E中，線段AB的“等角點”是　 　；

(2)直線MN分別交x軸、y軸于點M、N，點M的坐標是(6，0)，∠OMN＝30°．

①線段AB的“等角點”P在直線MN上，且∠ABP＝90°，求點P的坐標；

②在①的條件下，過點B作BQ⊥PA，交MN于點Q，求∠AQB的度數；

③若線段AB的所有“等角點”都在△MON內部，則t的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）C、D；（2）①，②∠AQB＝90°，③

【解析】

（1）根據給定的t值找出A、B點的坐標，再利用解三角形的方法討論C、D、E點是否滿足“等角點”的條件即可得出結論；

（2）①畫出點N在y軸正半軸時圖形，通過角的計算得出∠PAB＝∠OMN，從而得出“PA＝PM，AB＝BM”，再通過解直角三角形即可得出P點的坐標，同理可得出點N在y軸負半軸時的P點的坐標；②通過角的計算找出∠BMQ＝∠MQB＝30°，再結合外角的性質得出BQ＝BM＝AB即得出△ABQ是等邊三角形，從而得出結論，同理點N在y軸負半軸時，結論相同；

（3）通過構建與y軸以及與線段MN相切的圓，找出點A與點B的臨界點，求出此時的t值，從而得出線段AB的所有“等角點”都在△MON內部，則t的取值范圍．

（1）當t＝﹣時，點A（﹣，0），點B（，0），

∵點C（0，），OC＝＝AB，且點O為線段AB的中點，

∴△ABC為等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，點C是線段AB的“等角點”；

∵點D（，1），B、D橫坐標相等，

∴BD⊥x軸于點B．

∵AB＝﹣（﹣）＝，BD＝1﹣0＝1，tan∠ADB＝＝，

∴∠ADB＝60°，點D是線段AB的“等角點”；

∵點E（﹣，），A、E橫坐標相等，

∴AE⊥x軸于點A．

∵AB＝﹣（﹣）＝，AE＝﹣0＝，tan∠AEB＝＝，

∴∠AEB≠60°，點E不是線段AB的“等角點”．

綜上可知：點C、D是線段AB的“等角點”．

故答案為：C、D．

（2）①當點N在y軸正半軸時，如圖1，

∵∠APB＝60°，∠ABP＝90°，

∴∠PAB＝30°，

又∵∠OMN＝30°，

∴PA＝PM，AB＝BM．

∵AB＝，

∴BM＝，

∴PB＝1．

∴P（6﹣，1）．

當點N在y軸負半軸時，同理可得點．

②當點N在y軸正半軸時，如圖2，

∵BQ⊥AP，且∠APB＝60°，

∴∠PBQ＝30°，

∴∠ABQ＝60°，

∴∠BMQ＝∠MQB＝30°，

∴BQ＝BM＝AB，

∴△ABQ是等邊三角形．

∴∠AQB＝60°．

當點N在y軸負半軸時，同理可得∠AQB＝90°．

③以AB＝做底，AO′＝BO′為腰，∠AO′B＝120°作三角形，如圖3所示．

∵AO′＝BO′，AB＝，∠AO′B＝120°，

∴AO′＝1，O′O″＝．

（i）以直線y＝上的點O′為圓心，1為半徑作圓，當圓O′與y軸相切，且O′在y軸右側時，如圖4所示，

此時O′的坐標為（1，），此時A點的橫坐標為1﹣AB＝1﹣，

即t＝1﹣；

（ii）以直線y＝上的點O′為圓心，1為半徑作圓，當圓O′與線段MN相切，且O′在MN下方時，如圖5所示．

∵M′F＝，∠OMN＝30°，

∴MF＝＝．

∵O′D＝1，∠O′M′D＝∠OMN＝30°，

∴O′M′＝＝2．

此時點B的橫坐標為OM﹣MF﹣O′M′+AB＝4，

∴t+＝4，t＝4﹣．

綜上可知：若線段AB的所有“等角點”都在△MON內部，則t的取值范圍是1﹣＜t＜4﹣．

故答案為：