Question

【題目】已知矩形AOBC的邊AO、OB分別在y軸、x軸正半軸上，點C的坐標為（8，6），點E是x軸上任意一點，連接EC，交AB所在直線于點F，當△ACF為等腰三角形時，EF的長為_____．

Answer 1

【答案】5或或．

【解析】

△ACF是等腰三角形，需要分三種情況進行討論求解.

解：△ACF為等腰三角形有三種情況：

①如圖①，當AF＝CF時，點E與點O重合，

由題意得OB＝8，BC＝6，

∴由勾股定理得OC＝10，

∵四邊形AOBC為矩形，

∴EF＝5；

②如圖②，當AF＝AC＝8時，

由①可知OC＝10，

∵四邊形AOBC為矩形，

∴AB＝OC＝10，AC∥OB，

∴△AFC∽△BFE，

∴＝＝，

∴BE＝BF＝10﹣8＝2，

∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝，

∴＝＝4，

∴EF＝CE＝；

③如圖③，當CF＝AC＝8時，過點C作CD⊥AF于點D，

∴AD＝DF，

∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，

∴CD＝＝，

∴在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝，

∴BD＝AB﹣AD＝10﹣＝，DF＝AD＝，AF＝，BF＝DF﹣BD＝，

∵AC∥OE，

∴△AFC∽△BFE，

∴＝，

∴＝，

∴BE＝，

∵CF＝AC，

∴EF＝BE，

∴EF＝．

綜上所述，EF的長為5或或．

故答案為：5或或．