Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣4x+n（x＞0）的圖象記為G1，將G1繞坐標原點旋轉180°得到圖象G2，圖象G1和G2合起來記為圖象G．

（1）若點P（﹣1，2）在圖象G上，求n的值．

（2）當n＝﹣1時．

①若Q（t，1）在圖象G上，求t的值．

②當k≤x≤3（k＜3）時，圖象G對應函數的最大值為5，最小值為﹣5，直接寫出k的取值范圍．

（3）當以A（﹣3，3）、B（﹣3，﹣1）、C（2，﹣1）、D（2，3）為頂點的矩形ABCD的邊與圖象G有且只有三個公共點時，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）n的值為﹣3或1；（2）①t＝2±或﹣4或0，②﹣2﹣≤k≤﹣2；（3）當n＝0，n＝5，1＜n＜3時，矩形ABCD的邊與圖象G有且只有三個公共點．

【解析】

（1）先確定圖像G2的頂點坐標和解析式，然后就P分別在圖象G1和G2上兩種情況討論求解即可；

（2）①先分別求出圖象G1和G2的解析式，然后就P分別在圖象G1和G2上兩種情況討論求解即可；

②結合圖像如圖1，即可確定k的取值范圍；

（3）結合圖像如圖2，根據分n的取值范圍分類討論即可求解．

（1）∵拋物線y＝x2﹣4x+n＝（x﹣2）2+n﹣4，

∴頂點坐標為（2，n﹣4），

∵將G1繞坐標原點旋轉180°得到圖象G2，

∴圖象G2的頂點坐標為（﹣2，﹣n+4），

∴圖象G2的解析式為：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，

若點P（﹣1，2）在圖象G1上，

∴2＝9+n﹣4，

∴n＝﹣3；

若點P（﹣1，2）在圖象G2上，

∴2＝﹣1+4﹣n，

∴n＝1；

綜上所述：點P（﹣1，2）在圖象G上，n的值為﹣3或1；

（2）①當n＝﹣1時，則圖象G1的解析式為：y＝（x﹣2）2﹣5，圖象G2的解析式為：y＝﹣（x+2）2+5，

若點Q（t，1）在圖象G1上，

∴1＝（t﹣2）2﹣5，

∴t＝2±，

若點Q（t，1）在圖象G2上，

∴1＝﹣（t+2）2+5，

∴t1＝﹣4，t2＝0

②如圖1，

當x＝2時，y＝﹣5，當x＝﹣2時，y＝5，

對于圖象G1，在y軸右側，當y＝5時，則5＝（x﹣2）2﹣5，

∴x＝2+＞3，

對于圖象G2，在y軸左側，當y＝﹣5時，則﹣5＝﹣（x+2）2+5，

∴x＝﹣2﹣，

∵當k≤x≤3（k＜3）時，圖象G對應函數的最大值為5，最小值為﹣5，

∴﹣2﹣≤k≤﹣2；

（3）如圖2，

∵圖象G2的解析式為：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，圖象G1的解析式為：y＝（x﹣2）2+n﹣4，

∴圖象G2的頂點坐標為（﹣2，﹣n+4），與y軸交點為（0，﹣n），圖象G1的頂點坐標為（2，n﹣4），與y軸交點為（0，n），

當n≤﹣1時，圖象G1與矩形ABCD最多1個交點，圖象G2與矩形ABCD最多1交點，

當﹣1＜n＜0時，圖象G1與矩形ABCD有1個交點，圖象G2與矩形ABCD有3交點，

當n＝0時，圖象G1與矩形ABCD有1個交點，圖象G2與矩形ABCD有2交點，共三個交點，

當0＜n≤1時，圖象G1與矩形ABCD有1個交點，圖象G2與矩形ABCD有1交點，

當1＜n＜3時，圖象G1與矩形ABCD有1個交點，圖象G2與矩形ABCD有2交點，共三個交點，

當3≤n＜7時，圖象G1與矩形ABCD有2個交點，當3≤n＜5時，圖象G2與矩形ABCD有2個交點，n＝5時，圖象G2與矩形ABCD有1個交點，n＞5時，沒有交點，

∵矩形ABCD的邊與圖象G有且只有三個公共點，

∴n＝5，

當n≥7時，圖象G1與矩形ABCD最多1個交點，圖象G2與矩形ABCD沒有交點，

綜上所述：當n＝0，n＝5，1＜n＜3時，矩形ABCD的邊與圖象G有且只有三個公共點．