Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3）．

（1）求二次函數解析式；

（2）若點Q為拋物線上一點，且S△ABQ＝S△ACQ，求點Q的坐標；

（3）若直線l：y＝mx+n與拋物線有兩個交點M，N（M在N的左邊），P為拋物線上一動點（不與M，N重合）．過P作PH平行于y軸交直線l于點H，若＝5，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點Q的坐標為（，﹣）或（，）；（3）m＝±2．

【解析】

（1）拋物線與y軸交于點C（0，-3），則c=-3，將點B的坐標代入拋物線表達式并解得：b=-2，即可求解；
（2）分點Q在x軸下方、點Q在x軸上方兩種情況，分別求解即可；
（3）MH=（t-x1），同理：NH=（x2-t），MHMN=（m2+1）（mt+n-t2+2t+3）=（m2+1）PH，即可求解．

解：（1）拋物線與y軸交于點C（0，﹣3），則c＝﹣3，

將點B的坐標代入拋物線表達式并解得：b＝﹣2，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）設：點Q（m，m2﹣2m﹣3），

①當點Q在x軸下方時，如圖1，

S△ACQ＝×4×（﹣m2+2m+3），

S△ABQ＝S△AOC+S△QOC﹣S△AOQ＝﹣×3×m﹣×1×（﹣m2+2m+3）＝m2+m，

則：×4×（﹣m2+2m+3）＝m2+m，

解得：m＝或﹣1（舍去﹣1），故點P（，﹣）；

②當點Q在x軸上方時，如圖2，

取AC的中點E（﹣，﹣），

S△ABQ＝S△ACQ，則點E、B到AQ的距離相等，BE∥AQ，

直線BE的表達式中的k值為：，

同理直線BQ的表達式為：y＝x+，

∴，

解得：x＝或﹣1（舍去﹣1），

故點Q（，）；

綜上，點Q的坐標為：（，﹣）或（，）；

（3）過點H作x軸的平行線RH，過點M、N分別作RH的垂線交于點R、S，

設點M、N的橫坐標分別為x1，x2，點P（t，t2﹣2t﹣3），則點H（m，mt+n），

則PH＝mt+n﹣t2+2t+3，

聯立直線與拋物線的表達式并整理得：

x2﹣（m+2）x﹣3﹣n＝0，

則x1+x2＝m+2，x1x2＝﹣3﹣n

直線M、N的k值為m，即tan∠RHM＝m＝tanα，則cosα＝，

∴MH＝（t﹣x1），同理：NH＝（x2﹣t），

∴MHMN＝（m2+1）（mt+n﹣t2+2t+3）＝（m2+1）PH，

而，則m2+1＝5，

解得：m＝±2．