Question

【題目】已知拋物線y=3ax2+2bx+c（a≠0）。

（1）若a=b=1，C=-1。求此拋物線與x軸的交點的坐標；

（2）若a=，c=b+2，其中b是整數。

①直接寫出拋物線的頂點坐標（用含有b的代數式表示），并寫出頂點縱坐標的最大值；

②若拋物線在-2≤x≤2時，拋物線的最小值是-3，求b的值。

Answer 1

【答案】（1）拋物線與x軸的交點的坐標是（-1，0），（，0）

（2）①拋物線的頂點坐標（-b,-b2+b+2），最大值是2；②b=3滿足題意

【解析】分析：（1）將a、b、c的值代入，可得出拋物線解析式，從而可求解拋物線與x軸的交點坐標；（2）a= ，c-b=2，則拋物線可化為y=+2bx+b+2，其對稱軸為x= -b，分x= -b<-1，x= - b>2兩種情況討論b的取值，根據最小值為-3，可得出方程，求出b的值即可．

本題解析：（1）因為a=b=1，c=-1，所以拋物線解析式y=3x2+2x-1

令y=0，得3x2+2x-1=0解得x1=-1，x2=

所以此時拋物線與x軸的交點的坐標是（-1，0），（，0）。

（2）若a=，c=b+2，其中b是整數，拋物線解析式y=x2+2bx+b+2=（x+b）2-b2+b+2

①拋物線的頂點坐標（-b,-b2+b+2），所以頂點縱坐標的最大值是2.

②a=,c=b+2,則拋物線可化為y=+2bx+b+2，其對稱軸為x=b，

當x=b<2時，即b>2，則有拋物線在x=2時取最小值為3，

此時3=+2×(2)b+b+2，

解得：b=3，符合題意；

當x=b>2時，即b<2，則有拋物線在x=2時取最小值為3，

此時3=+2×2b+b+2，

解得：b=，不合題意，舍去,

當1≤b≤2時，即2≤b≤1，則有拋物線在x=b時取最小值為3，

此時3=+2×(b)b+b+2，

化簡得： b5=0，

解得：b= (不合題意,舍去),b=，

綜上可得：b=3或b=.