Question

【題目】（本小題滿分9分）已知：關于的方程．

（1）若方程有兩個相等的實數根，求的值，并求出這時的根．

（2）問：是否存在正數，使方程的兩個實數根的平方和等于136；若存在，請求出滿足條件的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）=1， ；（2）不存在．

【解析】試題分析：（1）根據一元二次方程的根的判別式△=0，建立關于m的等式，由此求出m的取值．再化簡方程，進而求出方程相等的兩根；

（2）利用根與系數的關系，化簡x12+x22=136，即（x1+x2）2﹣2x1x2=136．根據根與系數的關系即可得到關于m的方程，解得m的值，再判斷m是否符合滿足方程根的判別式．

試題解析：解：（1）若方程有兩個相等的實數根，則有△=b2﹣4ac=（8﹣4m）2﹣16m2=64﹣64m=0，解得m=1，當m=1時，原方程為x2+4x+4=0，∴x1=x2=﹣2；

（2）不存在．

假設存在，則有x12+x22=136．

∵x1+x2=4m﹣8，x1x2=4m2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=136．

即（4m﹣8）2﹣2×4m2=136，∴m2﹣8m﹣9=0，（m﹣9）（m+1）=0，∴m1=9，m2=﹣1．

∵△=（8﹣4m）2﹣16m2=64﹣64m≥0，∴0＜m≤1，∴m1=9，m2=﹣1都不符合題意，∴不存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于136．